Question

如圖，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于E，交

BC

于D，點A是優弧上的動點（不與B，C重合），BC=4

3

，ED=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）連接OB，利用垂徑定理易得BE的長，在Rt△OBE中，設半徑為R，利用勾股定理得到關于R的方程，解方程即可求得半徑長；
（2）當點A最高即AD為直徑時陰影部分面積的最大值，利用OB=4，OE=4-2=2得∠OBE=30°，則∠BOD=60°，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式可計算出等邊△OBD的面積、扇形OBD的面積，則可得到弓形BD的面積，然后利用陰影部分面積的最大值=△ABD的面積+弓形BD的面積計算即可．

解答：解：（1）連OB，如圖，
∵OD⊥BC，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
設⊙O的半徑為R，則OE=R-DE=R-2，
在Rt△OEB中，OB²=OE²+BE²，即R²=（2

3

）²+（R-2）²，
∴R=4；
（2）如圖∵弓形BD的面積不變，當△ABD的面積最大時，陰影部分的面積最大，
即點AD在線段BD的中垂線上時陰影部分面積的最大值，
∵OB=4，OE=4-2=2，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOD=60°，
可求出此時BD邊上的高為：4+2

3

，
∴S_ABD=

1

2

×4×（4+2

3

）=8+4

3

，
∴等邊△OBD的面積=

3

4

×4²=4

3

，
∵扇形OBD的面積=

60•π•42

360

=

8

3

π，
∴弓形BD的面積=

8

3

π-4

3

，
∴陰影部分面積的最大值=△ABD的面積+弓形BD的面積=8+4

3

-4

3

+

8

3

π=8+

8

3

π．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。�也考查了勾股定理以及扇形的面積公式．