Question

【題目】如圖1，直線y=x+1與拋物線相交于A、B兩點，與y軸交于點M，M、N關于x軸對稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標；②求證：∠ANM=∠BNM；

（2）如圖2，將題中直線y=x+1變為y=kx+b（b＞0），拋物線變為（a＞0），其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①A（，），B（ 1，2）；②證明見解析；（2）成立，理由見解析．

【解析】

（1）①聯立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標；②過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結論；

（2）當k=0時，由對稱性可得出結論；當k≠0時，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，設A（ ，）、B（ ，），聯立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數的關系，可求得，則可證明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出結論．

解：（1）①由已知得，解得或x=1，當時，y=，當x=1時，y=2，∴A、B兩點的坐標分別為（，），（ 1，2）；

②如圖1，過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，由①及已知有A（，），B（ 1，2），且OM=ON=1，∴tan∠ANM===，tan∠BNM== =，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，①當k=0，△ABN是關于y軸的軸對稱圖形，∴∠ANM=∠BNM；

②當k≠0，根據題意得：OM=ON=b，設A（ ，）、B（ ，）．

如圖2，過A作AE⊥y軸于E，過B作BF⊥y軸于F，由題意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，∴，，∵

==，

∴，

∴Rt△AEN∽Rt△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．