Question

（本題滿分10分）已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）7.5．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據平行線的判斷方法與性質可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．

（2）由直角三角形的特殊性質，可得AD的長，又有△ACD∽△ADE．根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求得圓的半徑．

試題解析：（1）連接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．

（2）∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD=，

連接CD．

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．則AC=15（cm）．

∴⊙O的半徑是7.5cm．

考點：1．切線的判定；2．平行線的判定與性質；3．圓周角定理；4．相似三角形的判定與性質．