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(本題滿分10分)已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點,AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半徑.

 

(1)證明見試題解析;(2)7.5.

【解析】

試題分析:(1)連接OD,根據平行線的判斷方法與性質可得∠ODE=∠DEM=90°,且D在⊙O上,故DE是⊙O的切線.

(2)由直角三角形的特殊性質,可得AD的長,又有△ACD∽△ADE.根據相似三角形的性質列出比例式,代入數據即可求得圓的半徑.

試題解析:(1)連接OD.

∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.

∵∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE.∴DO∥MN.

∵DE⊥MN,∴∠ODE=∠DEM=90°.即OD⊥DE.

∵D在⊙O上,OD為⊙O的半徑,∴DE是⊙O的切線.

(2)∵∠AED=90°,DE=6,AE=3,∴AD=

連接CD.

∵AC是⊙O的直徑,∴∠ADC=∠AED=90°.

∵∠CAD=∠DAE,∴△ACD∽△ADE.∴.∴.則AC=15(cm).

∴⊙O的半徑是7.5cm.

考點:1.切線的判定;2.平行線的判定與性質;3.圓周角定理;4.相似三角形的判定與性質.

 

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