Question

【題目】如圖1，已知在矩形ABCD中，AD＝10，E是CD上一點，且DE＝5，點P是BC上一點，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE．

（1）求證：∠APE＝90°；

（2）求AB的長；

（3）如圖2，點F在BC邊上且CF＝4，點Q是邊BC上的一動點，且從點C向點B方向運動．連接DQ，M是DQ的中點，將點M繞點Q逆時針旋轉90°，點M的對應點是M′，在點Q的運動過程中，①判斷∠M′FB是否為定值？若是說明理由．②求AM′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝8；（3）①∠M′FB為定值，理由見解析；②當AM'⊥FM'時，AM'的值最小，AM'＝2．

【解析】

（1）由SAS證明△APE≌△ADE得出∠APE＝∠D＝90°即可；

（2）由全等三角形的性質得出PE＝DE＝5，設BP＝x，則PC＝10﹣x，證明△ABP∽△PCE，得出，得出AB＝20﹣2x，CE＝x，由AB＝CD得出方程，解方程即可得出結果；

（3）①作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，證明△HQM'≌△GMQ得出HM'＝GQ，QH＝MG＝4，設HM'＝x，則CG＝GQ＝x，FG＝4﹣x，求出QF＝GQ﹣FG＝2x﹣4，得出FH＝QH+QF＝2x，由三角函數得出tan∠∠M′FB＝，即可得出結論；②當AM'⊥FM'時，AM'的值最小，延長HM'交DA延長線于N，則NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝2x﹣6，同①得：△ANM'∽△M'HF，得出，解得：x＝4，得出AN＝2，NM'＝4，在Rt△ANM'中，由勾股定理即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵AD＝10，PA＝10，∠PAD＝2∠DAE，

∴AP＝AD，∠PAE＝∠DAE，

在△APE和△ADE中，，

∴△APE≌△ADE（SAS），

∴∠APE＝∠D＝90°；

（2）由（1）得：△APE≌△ADE，

∴PE＝DE＝5，

設BP＝x，則PC＝10﹣x，

∵∠B＝90°，∠APE＝90°，

∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，

∴∠BAP＝∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即＝2，

∴AB＝20﹣2x，CE＝x，

∵AB＝CD，

∴20﹣2x＝5+x，

解得：x＝6，

∴AB＝20﹣2x＝8；

（3）①∠M′FB為定值，理由如下：

作MG⊥B于G，M'H⊥BC于H，如圖2所示：

則MG∥CD，∠H＝∠MGQ＝90°，

∴∠QMG+∠MQG＝90°，

∵M是DQ的中點，

∴QG＝CG，

∴MG是△CDQ的中位線，

∴MG＝CD＝AB＝4，

由旋轉的性質，QM'＝QM，∠M'QM＝90°，

∴∠HQM'+∠MQG＝90°，

∴∠HQM'＝∠QMG，

在△HQM'和△GMQ中，，

∴△HQM'≌△GMQ（ASA），

∴HM'＝GQ，QH＝MG＝4，

設HM'＝x，則CG＝GQ＝x，

∴FG＝4﹣x，

∴QF＝GQ﹣FG＝2x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，

∴FH＝QH+QF＝2x，

∴tan∠M′FB＝＝，

∴∠M′FB為定值；

②當AM'⊥FM'時，AM'的值最小，延長HM'交DA延長線于N，如圖3所示：

則NH＝AB＝8，NM'＝8﹣x，AN＝BH＝HQ﹣BQ＝4﹣（10﹣2x）＝2x﹣6，

同①得：△ANM'∽△M'HF，

∴＝＝，

∴＝，

解得：x＝4，

∴AN＝2，NM'＝4，

在Rt△ANM'中，由勾股定理得：AM'＝．