Question

將連續自然數1，2，3，…，n（n≥3）的排列順序打亂，重新排列成a₁，a₂，a₃，…，a_n．若（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）恰為奇數，則（　　）

A、一定是偶數

B、一定是奇數

C、可能是奇數，也可能是偶數

D、一定是2^m-1（m是奇數）

Answer 1

分析：從n可能是奇數或偶數進行討論，得出（a₁-1）（a ₂-2）（a₃-3）…（a _n-n）是奇數或偶數，從而確定答案．

解答：解：如果n是偶數的話，
在1～n這個數列中偶數的個數和奇數的個數相等，
要保證（a₁-1）（a ₂-2）（a₃-3）…（a _n-n）是奇數，則須保證每一項都為奇數．
因為a ₁～～a _n中奇數偶數都相等，
所以完全可能找出一隊序列1～～n 使（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）每一項都是奇數，
 如果n是奇數的話，在1～n這個數列中偶數的個數比奇數的個數少一個，
要保證（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇數，則須保證每一項都為奇數．
因為a ₁～～a _n中奇數比偶數多一個，一定會在（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）中有一個偶數，
因此（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）必為偶數，
所以n必為偶數．
故選A．

點評：此題主要考查了整數的奇偶性問題，對n的奇偶性進行討論是解決問題的關鍵．