Question

25、現將連續自然數1至2009按圖中的方式排列成一個長方形隊列，再用正方形任意框出16個數．

（1）設任意一個這樣的正方形框中的最小數為n，請用n的代數式表示該框中的16個數，然后填入右表中相應的空格處，并求出這16個數中的最小數

n

和最大數

n+24

，然后填入右表中相應的空格處，并求出這16個數的和

16（n+12）

．（用n的代數式表示）
（2）在圖中，要使一個正方形框出的16個數之和和分別等于832、2000、2008是否可能？若不可能，請說明理由；若可能，請求出該正方形框出的16個數中的最小數和最大數．
（3）計算出該長方形隊列中，共可框出多少個這樣不同的正方形框．

Answer 1

分析：（1）根據正方形框中數字左右相鄰時相差1，上下相鄰時相差7可以得到以下圖表．用n表示這16個的和=16n+192=16（n+12），
（2）這16個的和=16n+192=16（n+12），分別讓16個數之和和分別等于832、2000、2008看n是否為整數，進而得出結論．
（3）根據圖表可知，一個正方形共有16個數，上下左右是相鄰的，則第一行中共有4個，倒數后3行不能得到，總共可以框出的行數是287-3=284，284*4=1136．

解答：解：（1）設左上角第一個數為n，根據相鄰之間的關系可以得到下表：

其中最小數為n，最大數為n+24．
這16個數的和為16n+192=16（n+12）．
（2）設在（A）16（n+12）=832，n=40∴存在最小為40，最大40+24=64
（B）16（n+12）=2000，n=113∴存在最小為113，最大為137，
（C）16（n+12）=2008，n=119.75，∴不存在．
（3）設共有n行，則7n-6=2003，n=287，
后3行不能構成正方形，故287-3=284行，每行4個，
共284*4=1136．
故答案為：n，n+24，16（n+12），1136．

點評：通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力．