Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；

（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；

（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關系式BC=λAC，是否存在一個λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

Answer 1

       解：（1）不論點P在BC邊上何處時，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）設BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，

∴，即

∴

S_△APQ=

=

=

∴當時，△APQ的面積最大，最大值是；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP

∴AQ=AC

又Rt△AQP≌Rt△BQP

∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²﹣AC²

∴BC=AC

∴λ=時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．