Question

【題目】如圖，為線段上一動點（點不與點、重合），在線段的同側分別作等邊和等邊，連結、，交點為．若，求動點運動路徑的長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意分析得出點Q運動的軌跡是以AB為弦的一段圓弧，當點P運動到AB的中點處時PQ取得最大值，過點P作OP⊥AB，取AQ的中點E作OE⊥AQ交PQ于點O，連接OA，設半徑長為R，則根據勾股定列出方程求出R的值，再根據弧長計算公式l=求出l值即可.

解：依題意可知，點Q運動的軌跡是以AB為弦的一段圓弧，當點P運動到AB的中點處時PQ取得最大值，如圖所示，連接PQ，取AQ的中點E作OE⊥AQ交直線PQ于點O，連接OA，OB.

∵P是AB的中點，

∴PA=PB=AB=6=3.

∵和是等邊三角形，

∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，

∴AP=PD，∠APD=120°.

∴∠PAD=∠ADP=30°，

同理可證：∠PBQ=∠BCP=30°，

∴∠PAD=∠PBQ.

∵AP=PB,

∴PQ⊥AB.

∴tan∠PAQ==

∴PQ= .

在Rt△AOP中，

即

解得：OA= .

∵sin∠AOP===

∴∠AOP=60°.

∴∠AOB=120°.

∴l=== .

故答案選B.