Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB上一點，連接CE，現將向上方翻折，折痕為CE，使點B落在點P處．

（1）當點P落在CD上時，_____；當點P在矩形內部時，BE的取值范圍是_____．

（2）當點E與點A重合時：①畫出翻折后的圖形（尺規作圖，保留作圖痕跡）；②連接PD，求證：；

（3）如圖，當點Р在矩形ABCD的對角線上時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）12，0＜BE＜12；（2）①見解析，②見解析；（3）6或9．

【解析】

（1）由折疊的性質得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到結論；
（2）①由題意畫出圖形即可；
②根據全等三角形的性質得到∠PAC=∠DCA，設AP與CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根據平行線的判定定理得到結論；
（3）分兩種情形，當點P在對角線AC或對角線BD上時，兩種情形分別求解即可．

解：（1）當點P在CD上時，如圖1，

∵將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點B落在點P處，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=12，
當點P在矩形內部時，BE的取值范圍是0＜BE＜12；
故答案為：12，0＜BE＜12；
（2）①補全圖形如圖2所示，

②當點E與點A重合時，如圖3，連接PD，設CD交PA于點O．

由折疊得，AB=AP=CD，
在△ADC與△CPA中， ，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
設AP與CD相交于O，則OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD
∴PD∥AC；
（3）如圖4中，當點P落在對角線AC上時，

由折疊得，BC=PC=12，AC= =20，
∴PA=8，設BE=PE=x，
在Rt△APE中，（16-x）2=x2+82，
解得x=6．
∴BE=6．
如圖5中，當點P落在對角線BD上時，設BD交CE于點M．

由折疊得，BE=PE，∠BEC=∠PEC，

∵EM=EM，

∴△MBE∽△MEP，

∴∠EMB=∠EMP，

∵∠EMB+∠EMP=180°，

∴EC⊥BD，

∴∠BCE=∠ABD，

∵∠A=∠ABC=90°，

∴△CBE∽△BAD，
∴ ，
∴ ，
∴BE=9，
綜上所述，滿足條件的BE的值為6或9．