Question

如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．
（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之間有什么關系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁，S₂，S₃之間的關系并加以證明；
（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，為使S₁，S₂，S₃之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結論；
（4）類比（1），（2），（3）的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論．

Answer 1

分析：利用直角△ABC的邊長就可以表示出S₁、S₂、S₃的大小．三角形的邊滿足勾股定理．

解答：解：設直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，則c²=a²+b²
（1）S₁=S₂+S₃；

（2）S₁=S₂+S₃．證明如下：
顯然，S₁=

3

4

c2，S₂=

3

4

a2，S₃=

3

4

b2
∴S₂+S₃=

3

4

(a2+b2)=

3

4

c2=S_1，
即S₁=S₂+S₃．

（3）當所作的三個三角形相似時，S₁=S₂+S₃．證明如下：
∵所作三個三角形相似
∴

S2

S1

=

a2

c2

，

S3

S1

=

b2

c2

∴

S2+S3

S1

=

a2+b2

c2

=1
∴S₁=S₂+S₃；

（4）分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，則S₁=S₂+S₃．

點評：本題是對勾股定理進行的證明，難易程度適中．