Question

2．已知，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，∠APB=50°，C為⊙O上一點，（不與A、B重合），則∠ACB=65或115度．

Answer 1

分析 連結OA、OB，如圖，先根據切線的性質得∠PAO=∠PBO=90°，再根據四邊形內角和計算出∠AOB=180°-∠APB=130°，然后分類討論：當點C在優弧AB上，根據圓周角定理易得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB；當點C在劣弧AB上，即C′的位置，根據圓內接四邊形的性質易得∠AC′B=180°-∠ACB，問題得解．

解答 解：連結OA、OB，如圖，
∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，
當點C在優弧AB上，則∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=65°；
當點C在劣弧AB上，即C′的位置，則∠AC′B=180°-∠ACB=180°-65°=115°，
即∠ACB為65°或115°．
故答案為65或115．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了圓周角定理和分類討論思想的運用．