Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分別以AB、AC為邊，向形外作等邊△ABD和等邊△ACE．
（1）如圖1，連接線段BE、CD．求證：BE=CD；
（2）如圖2，連接DE交AB于點F．求證：F為DE中點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABD和△ACE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，然后給∠DAB和∠EAC都加上∠BAC，得到∠DAC=∠BAE，利用“SAS“即可得到△DAC≌△BAE，最后根據全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）作DG∥AE，交AB于點G，由等邊三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根據兩直線平行內錯角相等得到∠DGF=90°，再根據∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的內角和定理得到∠ABC=60°，由等邊三角形的性質也得到∠DBG=60°，從而得到兩角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”證得△DGB≌△ACB，根據全等三角形的對應邊相等得到DG=AC，再由△AEC為等邊三角形得到AE=AC，等量代換可得DG=AE，加上一對對頂角的相等和一對直角的相等根據“AAS”證得△DGF≌△EAF，最后根據全等三角形的對應邊相等即可得證．
解答：證明：（1）∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；


（2）如圖，作DG∥AE，交AB于點G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD為等邊三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC為等邊三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F為DE中點．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等邊三角形的性質，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角相等等隱含條件的運用．第二問作出輔助線構造全等三角形是本問的突破點．