Question

13、如果順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，那么這個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD的關(guān)系是

互相垂直

．

Answer 1

分析：答：這個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD的關(guān)系是互相垂直．理由為：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的四個(gè)角為直角得到∠FEH=90°，又EF為三角形ABD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EF與DB平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠EMO=90°，同理根據(jù)三角形中位線定理得到EH與AC平行，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠AOD=90°，根據(jù)垂直定義得到AC與BD垂直．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形如下：

答：AC與BD 的位置關(guān)系是互相垂直．
證明：∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，
∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，
∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案為：互相垂直．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，以及平行線的性質(zhì)．這類題的一般解法是：借助圖形，充分抓住已知條件，找準(zhǔn)問(wèn)題的突破口，由淺入深多角度，多側(cè)面探尋，聯(lián)想符合題設(shè)的有關(guān)知識(shí)，合理組合發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論，圍繞所探結(jié)論環(huán)環(huán)相加，步步逼近，所探結(jié)論便會(huì)被“逼出來(lái)”．