Question

已知，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于C點．

（1）求點A、B、C三點的坐標；

（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；

（3）在線段AP上是否存在一點M，使，△MBC的周長最小，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當y=0時,x²-1=0,解得x₁=1,x₂=﹣1．

∴A點坐標為（-1，0），B點坐標為（1，0）．

當x=0時,y=0²-1=﹣1,

∴C點坐標為（0，﹣1）．                

（2）過點P作PQ⊥軸于點Q．

∵AO=BO=CO=1,∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=∠OCB=45°，

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵AP∥CB，

∴∠PAC=180°﹣∠ACB=90°，

∴四邊形ACBP是直角梯形．           

∴∠PAQ=∠PAC-∠CAB=45°．

∵∠AQP=90°，

∴PQ=AQ．

設P點（a,a²-1）,則AQ=OA+OQ=1+ a．

∵AQ=PQ,

∴1+ a= a²-1,解得a₁=2,a₂=-1；

∵點P在第一象限，∴a=2．

∴P點坐標為（2，3），∴AP=3．       

∵AC=BC=,S_{四邊形ACBP}=4．           

（3）存在.延長CA到點C’，使AC’=AC,過點C’作C’D⊥軸于點D,連接BC’,則BC’與AP的交點即為M點．

∵∠PAC=90°,

∴C與C’關于AP對稱．

∵∠C’AD=∠CAO, ∠C’DA=∠COA,C’A=CA,

∴△C‘DA≌△COA．                     

∴DA=OA=1，C’D=CO=1，∴OD=OA+AD=2，

∴C’點坐標為(﹣2，1) ．

∴直線AP與直線BC’的解析式分別為；．

∴解方程組可得點M的坐標為（，）．

∴在線段AP上存在一點M（，），使△MBC的周長最小．