Question

9．如圖，是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉90°，180°，270°后形成的圖形．若∠BAD=60°，AB=$\sqrt{3}$，則圖中陰影部分的面積為9-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 圖中陰影部分由4個全等的等腰三角形和一個正方形組成，如圖，作DH⊥AE于H，根據旋轉的性質得∠DAF=90°，∠EAF=∠BAD=60°，AB=AE=$\sqrt{3}$，則∠DAE=30°，在Rt△ADH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系可得DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$，所以HE=AE-AH=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，接著在Rt△DHE中，利用勾股定理得到DE²=DH²+HE²=6-3$\sqrt{3}$，所以圖中陰影部分的面積=4S_△ADE+6-3$\sqrt{3}$=9-3$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖，作DH⊥AE于H，
∵菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉90°，180°，270°，
∴∠DAF=90°，∠EAF=∠BAD=60°，AB=AE=$\sqrt{3}$
∴∠DAE=30°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△ADH中，∵∠DAH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$，
∴HE=AE-AH=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
在Rt△DHE中，DE²=DH²+HE²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$）²=6-3$\sqrt{3}$，
∴圖中陰影部分的面積=4S_△ADE+6-3$\sqrt{3}$
=4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+6-3$\sqrt{3}$
=9-3$\sqrt{3}$．
故答案為9-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系．