Question

如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側作正方形ABDE，設正方形的中心為O，連接AO．若AC=2，CO=3

2

，則正方形ABDE的邊長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：壓軸題

分析：把△ACO繞點A逆時針旋轉90°得到△AC′O′，根據旋轉的性質可得AC′=AC，∠CAC′=90°，C′O′=CO，AO′=AO，然后判斷出△ACC′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出CC′，連接OB，然后求出點A、C、O、B四點共圓，求出∠BCO=∠OAB=45°，然后求出∠AC′O′=∠ACO=135°，判斷出點C、C′、O′三點共線，過點A作AF⊥CC′于F，根據等腰直角三角形的性質可得AF=C′F=

1

2

CC′，再求出O′F，然后利用勾股定理列式求出AO′，再根據正方形的性質求解即可．

解答：解：如圖，把△ACO繞點A逆時針旋轉90°得到△AC′O′，
∴AC′=AC=2，∠CAC′=90°，C′O′=CO=3

2

，AO′=AO，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
CC′=

2

AC=2

2

，
連接OB，
∵正方形的中心為O，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴點A、C、O、B四點共圓，
∴∠BCO=∠OAB=45°，
∴∠AC′O′=∠ACO=135°，
又∵∠ACC′+∠AC′O′=45°+135°=180°，
∴點C、C′、O′三點共線，
過點A作AF⊥CC′于F，則AF=C′F=

1

2

CC′=

2

，
∴O′F=O′C′+C′F=3

2

+

2

=4

2

，
在Rt△AFO′中，AO′=

AF2+O′F2

=

2 2+(4 2 )2

=

34

，
∴正方形ABDE的邊長AB=

2

AO=

2

AO′=

2

×

34

=2

17

．
故答案為：2

17

．

點評：本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，四點共圓的判定與性質，勾股定理的應用，難點在于作輔助線構造出全等三角形和直角三角形．