Question

（本題滿分10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD.

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2） 當∠ODB=30°時，求證：BC=OD.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）由OD⊥AC ,OD為半徑，根據垂徑定理，即可得=，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．

試題解析：（1）∵OD⊥AC OD為半徑，

∴ =.

∴∠CBD=∠ABD。

∴BD平分∠ABC.

（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，

∴∠OBD=∠ODB=30°.

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°.

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°.

∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°.

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°.

∴在Rt△ACB中，BC=AB .

∵OD=AB，

∴BC=OD.

考點：垂徑定理, 圓周角定理