Question

以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．
（1）求AM，DM的長；
（2）求證：AM²=AD•DM；
（3）根據（2）的結論你能找出圖中的黃金分割點嗎？

Answer 1

（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，
∴PD==，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=-1，
DM=AD-AM=2-（-1）=3-；

（2）證明：∵AM²=（-1）²=6-2，AD•DM=2（3-）=6-2，
∴AM²=AD•DM；

（2）點M是AD的黃金分割點．理由如下：
∵AM²=AD•DM，
∴═=，
∴點M是AD的黃金分割點．
分析：（1）由勾股定理求PD，根據AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）計算的數據進行證明；
（3）根據（2）的結論得：=，根據黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．
點評：此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據黃金分割的概念進行判斷．