Question

如圖，已知，以點為圓心，以長為半徑的圓交軸于另一點，過點作交⊙A于點，直線交軸于點．

（1）求證：直線是⊙A的切線；

（2）求點的坐標及直線的解析式；

（3）有一個半徑與⊙A的半徑相等，且圓心在軸上運動的⊙P．若⊙P與直線相交于兩點，是否存在這樣的點，使是直角三角形．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連結

又

又

是⊙O的切線．

（2）方法①由（1）知

，

，　　　　　①

又，　　　　②

由①②解得（舍去）或，

直線經過，兩點

設的解析式：

解得

直線的解析式為．                                                                                

方法②：切⊙A于點，

又，，

即　　　　　①

又，　　　　　②

由①②解得（舍去）或

                                                                                                                              

（求的解析式同上）．

方法③，

　　　　　①

切⊙A于點，

，

，

　　　　②

由①②解得：，

（求的解析式同上）．

（3）存在；

當點在點左側時，若，過點作于點，

，，

，，

，

，，

當點在點右側時，設，過點作于點，則

，可知與關于點中心對稱，根據對稱性得

存在這樣的點，使得為直角三角形，點坐標或．