Question

如圖，已知：邊長為1的圓內接正方形ABCD中，P為邊CD的中點，直線AP交圓于E點．
（1）求弦DE的長．
（2）若Q是線段BC上一動點，當BQ長為何值時，三角形ADP與以Q，C，P為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）過D點作DF⊥AE于F點．則△DEF是等腰直角三角形，根據△ADP的面積就可以求出DF，則根據勾股定理得到DE．
（2）△ADP與以Q，C，P為頂點的三角形相似，應分Rt△ADP∽Rt△PCQ和Rt△ADP∽Rt△PCQ兩種情況進行討論．根據相似三角形的對應邊的比相等，得到BQ的長．

解答：解：（1）如圖1．過D點作DF⊥AE于F點．
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=

5

2

（1分）
又∵S_△ADP=

1

2

AD•DP=

1

2

AP•DF
∴DF=

5

5

（2分）
∵

AD

的度數為90°
∴∠DEA=45°
∴DE=

2

DF=

10

5

（4分）


（2）如圖2．
當Rt△ADP∽Rt△QCP時有

AD

QC

=

DP

CP

得：QC=1．
即點Q與點B重合
∴BQ=0（5分）
如圖3，當Rt△ADP∽Rt△PCQ時，有

AD

PC

=

PD

QC

得QC=

1

4

即BQ=BC-CQ=

3

4

（7分）
∴當BQ=0或BQ=

3

4

時，三角形ADP與以點Q，C，P為頂點的三角形相似．（8分）

點評：此題主要考查相似三角形的判定方法，勾股定理及正多邊形與圓的關系等知識點的綜合運用．