Question

19．△ABC的外接圓圓心為P，若點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），則cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，設BC中點M，得到$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AM}$，結合已知，得到∠BPM=∠BAC．

解答 解：設BC邊中點為M，則$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AM}$，由題設$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴5$\overrightarrow{AP}$=4$\overrightarrow{AM}$
∴A、P、M共線，且AP=4PM，而∠BPM=2∠BAM，
∴∠BPM=∠BAC，
即cos∠BAC=$\frac{PM}{PB}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$

點評 本題考查了向量共線性質的運用；關鍵是明確A，P與BC中點三點共線，得到∠BPM=∠BAC．