Question

3．已知，OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠B0D，直線AB、CD相交于P．
①如圖1，若∠AOC=∠BOD=90°，則∠APD=90°，并證明；
②如圖2，若∠AOC=∠BOD=60°，則∠APD=120°，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到∠1=∠2，證得△OAB≌△OCD，根據全等三角形的性質得到∠OBA=∠ODC，于是得到∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-45°-∠ODC=180°-45°-45°-∠BOP=90°-∠BDP，證得∠PBD+∠BOP=90°，即可得到結論；
（2）同（1）得到∠ABO=∠CDO，求得∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-∠CDO-60°=180°-60°-60°-∠BDP，推出∠PBD+∠BOP=120°-60°=60°，于是得到結論．

解答 解：（1）∠APD=90°，
理由：∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△OAB與△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠1=∠2}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCD，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-45°-∠ODC=180°-45°-45°-∠BOP=90°-∠BDP，
∴∠PBD+∠BOP=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°．
故答案為：90°；

（2）∠APD=120°，
理由：同（1）得到∠ABO=∠CDO，
∴∠PBD=180°-∠ABO-∠OBD=180°-∠CDO-60°=180°-60°-60°-∠BDP，
∴∠PBD+∠BOP=120°-60°=60°，
∴∠APD=180°-60°=120°．
故答案為：120°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．