Question

14．（1）如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點，F是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；
（2）如圖2，若將正方形ABCD改為矩形ABCD，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q，利用正方形的性質得FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM，再利用等角的余角相等得到∠OGR=∠OFM，于是可根據“AAS”判定△GNH≌△FME，所以EF=GH；
（2）如圖2，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q，利用矩形的性質得GN=AD，FM=AB，且GN⊥FM，與（1）一樣可得到∠OGR=∠OFM，加上∠GNH=∠FME=90°，則可判斷△GNH∽△FME，利用相似三角形的性質得$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$，而AD=mAB，所以GH=mEF．

解答 （1）證明：如圖1，
過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM，
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM，
在△GNH和△FME中
  $\left\{\begin{array}{l}{∠GNH=∠FME}\\{∠HGN=∠EFM}\\{GN=FM}\end{array}\right.$，
∴△GNH≌△FME，
∴EF=GH；
（2）解：GH=mEF．理由如下：
如圖2，
過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴GN=AD，FM=AB，且GN⊥FM
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM，
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME，
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$=m，
∴GH=mEF．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要通過相似比得到線段之間的關系．也考查了全等三角形的判定與性質．