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14.(1)如圖1,已知正方形ABCD,E是AD上一點,F是BC上一點,G是AB上一點,H是CD上一點,線段EF、GH交于點O,∠EOH=∠C,求證:EF=GH;
(2)如圖2,若將正方形ABCD改為矩形ABCD,且AD=mAB,其他條件不變,探索線段EF與線段GH的關系并加以證明.

分析 (1)如圖1,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,EF和GN交于R,GN和MF交于Q,利用正方形的性質得FM=GN=AB=DA,且GN⊥FM,再利用等角的余角相等得到∠OGR=∠OFM,于是可根據“AAS”判定△GNH≌△FME,所以EF=GH;
(2)如圖2,過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,EF、GN交于R,GN、MF交于Q,利用矩形的性質得GN=AD,FM=AB,且GN⊥FM,與(1)一樣可得到∠OGR=∠OFM,加上∠GNH=∠FME=90°,則可判斷△GNH∽△FME,利用相似三角形的性質得$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$,而AD=mAB,所以GH=mEF.

解答 (1)證明:如圖1,
過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,EF和GN交于R,GN和MF交于Q,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴FM=GN=AB=DA,且GN⊥FM,
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°,
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM,
在△GNH和△FME中
  $\left\{\begin{array}{l}{∠GNH=∠FME}\\{∠HGN=∠EFM}\\{GN=FM}\end{array}\right.$,
∴△GNH≌△FME,
∴EF=GH;
(2)解:GH=mEF.理由如下:
如圖2,
過點F作FM⊥AD于M,過點G作GN⊥CD于N,EF、GN交于R,GN、MF交于Q,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴GN=AD,FM=AB,且GN⊥FM
∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM,
∵∠GNH=∠FME=90°,
∴△GNH∽△FME,
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{GN}{FM}$=$\frac{AD}{AB}$=m,
∴GH=mEF.

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質:在判定兩個三角形相似時,應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形;在運用相似三角形的性質時,主要通過相似比得到線段之間的關系.也考查了全等三角形的判定與性質.

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