Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C的直線與ED的延長線交于點P，PC=PG．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）當點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若BG²=BF•BO．求證：點G是BC的中點；

（3）在滿足（2）的條件下，AB=10，ED=4，求BG的長．

Answer 1

（1）證明：連OC，如圖，

∵ED⊥AB，

∴∠FBG+∠FGB=90°，

又∵PC=PG，

∴∠1=∠2，

而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，

∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：連OG，如圖，

∵BG²=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，

而∠FBG=∠GBO，

∴△BGO∽△BFG，

∴∠OGB=∠BFG=90°，

即OG⊥BG，

∴BG=CG，即點G是BC的中點；

（3）解：連OE，如圖，

∵ED⊥AB，

∴FE=FD，

而AB=10，ED=4，

∴EF=2，OE=5，

在Rt△OEF中，OF===1，

∴BF=5﹣1=4，

∵BG²=BF•BO，

∴BG²=BF•BO=4×5，

∴BG=2．