Question

如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，且DE∥BC，下列結論：①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四邊形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A，其中一定正確的是（ ）

A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：分別過點D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，由于折疊是軸對稱圖形知AF⊥DE，因為DE∥BC，所以AF⊥BC，且AM=MF，可以證明DE是△ABC的中位線．
由于折紙是軸對稱圖形知AD=DF，AE=EF，所以DA=DB=DF，可以證明①是等腰三角形；因DG∥AF∥EH，又因為DG是等腰三角形BDF的高，可證∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，可證④正確；顯然③四邊形ADFE是菱形是錯誤的．
解答：解：分別過點D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，
∵折疊是軸對稱圖形，∴AF⊥DE，
∵DE∥BC，∴AF⊥BC，且AM=MF，
∴D、E分別是AB、AC的中點，
即；②DE=BC，正確．
∵AD=DF，AE=EF，
∴DA=DB=DF，∴①△BDF是等腰三角形，正確．
∵DG∥AF∥EH，∴∠BDG=∠DAM，
又∵DG是等腰三角形BDF的高，
∴∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，
∴④∠BDF+∠FEC=2∠A；如圖顯然③四邊形ADFE是菱形是錯誤的．
故選C．
點評：此題主要考查菱形的判定，等腰三角形的判定與性質的理解和掌握，軸對稱圖形等知識點，解答此題的關鍵是分別過點D、E作BC的垂線DG、EH；連接AF，然后分別求證各個結論，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．