Question

1．如圖，二次函數y=（x-h）²+k的頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求出該二次函數的圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數的圖象上是否存在點P（點P與點M不重合），使S_△PAB=$\frac{5}{4}{S_{△MAB}}$？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得二次函數的解析式，再令y=0可求得A、B兩點的坐標；
（2）求出△MAB的面積，再求出點P的縱坐標，然后代入拋物線解析式求解即可．

解答 解：（1）∵二次函數y=（x-h）²+k的頂點坐標為M（1，-4），
∴拋物線的表達式為y=（x-1）²-4，
令y=0，得x=-1或x=3，
∴拋物線與x軸的交點坐標為A（-1，0），B（3，0）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），M（1，-4），
∴AB=4．
∴S_△MAB=8，
∵AB=4，
∴點P到AB的距離為5時，S_△PAB=$\frac{5}{4}{S_{△MAB}}$，
即點P的縱坐標為±5．
∵點P在二次函數的圖象上，且頂點坐標為M（1，-4），
∴點P的縱坐標為5，
∴5=（x-1）²-4，
∴x₁=-2，x₂=4．
∴點P的坐標為（4，5）或（-2，5）．

點評 本題主要考查待定系數法求函數解析式及二次函數圖象上點的坐標，掌握二次函數頂點式y=a（x-h）²+k的頂點坐標為（h，k）是解題的關鍵．