Question

（1）用長度相等的100根火柴桿，擺放成一個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴桿的根數．
（2）現有長為150cm的鐵絲，要截成n（n＞2）小段，每段的長為不小于1cm的整數．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段．

Answer 1

分析：（1）設三角形各邊需用火柴桿數目分別為x、y、3x，綜合運用題設條件及三角形邊的關系等知識，建立含等式、不等式的混合組，這是解本例的突破口．
（2）因n段之和為定值150cm，故欲n盡可能的大，必須每段的長度盡可能小，這樣依題意可構造一個數列．

解答：解：（1）設三角形各邊需用火柴桿數目分別為x、y、3x，
依題意有

x+y+3x=100 x≤y≤3x x+y＞3x

，
由方程可得

100

7

≤x＜

50

3

．
因x為正整數，故x=15或16．
所以滿足條件的三角形有15，40，45或16，36，48兩組；
（2）這些小段的長度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值為10，共有以下7種形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．

點評：本題綜合考查了三角形三邊關系和解含等式、不等式的混合組，有一定的難度．第（2）題解題關鍵是得到加入之數等于已得數組中最大的兩數之和．