Question

如圖，直徑AB、CD互相垂直，P為

BC

上一動點，連PC、PA、PD、PB．
求證：

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．

Answer 1

分析：連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點P旋轉到Q點，可證得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=

2

AP，同理可得BP+AP=

2

DP，繼而可證得結論．

解答：：解：連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點P旋轉到Q點，
∴AQ=AP，CP=QD，
∵∠PAQ=90°，AQ=AP，
∵∠ADQ+∠ADP=∠ACP+∠ADP=180°，
∴P，D，Q三點共線，
∴∠Q=∠APD=45°，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴PQ=

2

AP，
即CP+DP=

2

AP，
同理：BP+AP=

2

DP，
∴

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、旋轉的性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．