Question

8．閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b$\sqrt{2}$=m${\;}^{2}+{2n}^{2}+2mn\sqrt{2}$．
a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，用含m、n的式子分別表示a，b，得a=m²+3n²，b=2mn．
（2）利用所探索的結論，用完全平方式表示出：$7+4\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²．
（3）請化簡：$\sqrt{12+6\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知直接去括號進而得出a，b的值；
（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．

解答 解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，
∴a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²=m²+3n²+2$\sqrt{3}$mn，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
故答案為：m²+3n²；2mn；

（2）$7+4\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²；
故答案為：（2+$\sqrt{3}$）²；       

（3）∵12+6$\sqrt{3}$=（3+$\sqrt{3}$）²，
∴$\sqrt{12+6\sqrt{3}}$=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）^{2}}$=3+$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確利用完全平方公式化簡是解題關鍵．