Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點，△ABC為正三角形，D為BC的中點，M為⊙O上一點．

（1）若AB是⊙O的切線，求∠BMC；

（2）在（1）的條件下，若E，F分別是AB，AC上的兩個動點，且EDF120，⊙O的半徑為2，試問BECF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=.

【解析】

（1）連接BO，由AB是切線可以得到∠ABO的度數，由△ABC為等邊三角形，得到∠OBC的度數，然后得到∠BOC，根據圓心角與圓周角的關系得到∠BMC的度數.

（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，連結AD ，OD，如圖2，根據等邊三角形三角形的性質得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，則利用角平分線性質得DH=DN，根據四邊形內角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接著證明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再計算出BH=BD，CN=DC，則BE+CF=BC，于是可判斷BE+CF的值是定值，為等邊△ABC邊長的一半，再計算BC的長即可．

（1）解：如圖，連接BO，

∵AB是圓的切線，

∴∠ABO=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠CBO=90°-60°=30°，

∵BO=CO，

∴∠BCO=∠CBO=30°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BMC=

（2）解：BE+CF的值是為定值．

理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，連結AD，OD，如圖2，

∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DH=DN，∠HDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠HDE=∠NDF，

在△DHE和△DNF中，

∴，

∴△DHE≌△DNF，

∴HE=NF，

∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，

在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，

∴BH=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=DB+DC=BC，

∵BD=，

∴BC=，

∴BE+CF=，

∴BE+CF的值是定值，為：．