Question

已知關于x的方程x²﹣（2k﹣3）x+k²+1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂．

（1）求k的取值范圍；

（2）試說明x₁＜0，x₂＜0；

（3）若拋物線y=x²﹣（2k﹣3）x+k²+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原點的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：△=【﹣（2k﹣3）】²﹣4（k²+1）＞0，

即﹣12k+5＞0                

∴．                            

 

（2）∵，

∴x₁＜0，x₂＜0．                       

 

（3）依題意，不妨設A（x₁，0），B（x₂，0）．

∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=﹣（x₁+x₂）=﹣（2k﹣3），

OA•OB=|﹣x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，

∵OA+OB=2OA•OB﹣3，

∴﹣（2k﹣3）=2（k²+1）﹣3，

解得k₁=1，k₂=﹣2．                  

∵，

∴k=﹣2．