Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側），與y軸相交于點C．

（1）若m=2，n=1，求A、B兩點的坐標；

（2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是（0，﹣1），求∠ACB的大小；

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

 

  

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），

∴x=m或x=n時，y都為0，

∵m＞n，且點A位于點B的右側，

∴A（m，0），B（n，0）．

∵m=2，n=1，

∴A（2，0），B（1，0）．

（2）∵拋物線y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）過C（0，﹣1），

∴﹣1=mn，

∴n=﹣，

∵B（n，0），

∴B（﹣，0）．

∵AO=m，BO=﹣，CO=1

∴AC==，

  BC==，

  AB=AO+BO=m﹣，

∵（m﹣）²=（）²+（）²，

∴AB²=AC²+BC²，

∴∠ACB=90°．

（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，

∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．

∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，

∴AC==，

  BC==|n|，

  AB=x_A﹣x_B=2﹣n．

①當AC=BC時，=|n|，解得n=2（A、B兩點重合，舍去）或n=﹣2；

②當AC=AB時，=2﹣n，解得n=0（B、C兩點重合，舍去）或n=﹣；

③當BC=AB時，|n|=2﹣n，

當n＞0時，n=2﹣n，解得n=，

當n＜0時，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．

綜上所述，n=﹣2，﹣，﹣，時，△ABC是等腰三角形．