Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上的一點(diǎn)， AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E, 點(diǎn)F是EB的中點(diǎn)，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）求證：AG=GD；

（3）若FB=FG，且⊙O的半徑長(zhǎng)為，求BD.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）連接AB, OA，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠BAC=90°，∠BAE=90°，根據(jù)切線的判定與性質(zhì)可證明；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)與判定可證明；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，由等腰三角形和相似三角形的性質(zhì)與判定可求解.

試題解析：（1）連接AB, OA，

∵BC是直徑

∴∠BAC=90°，∠BAE=90°

∵點(diǎn)F是EB的中點(diǎn)

∴AF=BF=EF

∵AF=BF

∴∠FBA=∠FAB

∵OB=OA

∴∠OBA=∠OAB

∴∠FBD=∠FAO

∵BF是⊙O的切線

∴∠FBD=90°

∴∠FAO=90°

∴AF是⊙O的切線。

（2）∵AD⊥BC，∠FBD=90°

∴EB∥AD

∴△FBC∽△GDC, △EBC∽△ADC

∴,

∴

∵EF=FB

∴AG=GD

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H

∵AD⊥BC, FH⊥AD

∴FH∥BC

∴∠FHG=∠GDO, ∠HFG=∠DCG

∴△HFG∽△DCG

∵AD⊥BC, FH⊥AD,EB⊥BC

∴四邊形HFBD是矩形

∴FH=BD

∵FG=FB,FB=FA

∴FA=FG

∴△AFG是等腰三角形

∴,

∵AG=GD

∴

設(shè)BD=x，則FH=x，CD=

∵△HFG∽△DCG

∴

∴

∴BD=