Question

11．已知：在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）寫出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；
（2）求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；
（3）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤螧=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；
（2）根據(jù)平行四邊形的定義得到四邊形APMQ是平行四邊形，于是得到∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，推出∠PMC=∠QMB．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BQ=QM，PM=PC．根據(jù)得到結(jié)論；
（3）根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形．

解答 證明：（1）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；

（2）解：∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四邊形AQMP的周長(zhǎng)=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ是菱形，
證明：∵AB∥MP，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴P是AC的中點(diǎn)，
∴PM是三角形ABC的中位線，
同理：QM是三角形ABC的中位線．
∵AB=AC，
∴QM=PM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，
∴平行四邊形APMQ是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．