Question

10．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．
（1）將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC，請(qǐng)你畫(huà)出△BEC．
（2）連接PE，求證：△PEC是直角三角形；
（3）填空：∠APB的度數(shù)為135°．

Answer 1

分析 （1）將△APB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，即將A，P，兩點(diǎn)繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得出△CBE即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠PBE=∠ABC=90°，BP=BE=2，即可證得△PBE是等腰直角三角形，從而求得PE，最后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得到△PEC是直角三角形；
（3）連接PE后，存在兩個(gè)直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，先求得∠BEC的度數(shù)，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得出∠APB的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖所示，△CBE即為所求；


（2）證明：∵△BEC是由△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到的，
∴△BEC≌△BPA，∠PBE=90°，
∴BE=BP=2，CE=PA=1，
∴△PBE是等腰直角三角形，CE²=1，
∴Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²=4+4=8，
又∵PC=3，
∴PC²=9，
∴在△PCE中，PE²+CE²=PC²，
∴△PCE是直角三角形，且∠PEC=90°；

（3）由（2）可得，△PCE是直角三角形，△PBE是等腰直角三角形，
∴∠PEC=90°，∠BEP=45°，
∴∠BEC=90°+45°=135°，
又∵△BEC≌△BPA，
∴∠APB=∠BEC=135°．
故答案為：135°．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，正確理解旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)相等的角和相等的邊是解題的關(guān)鍵．要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．