Question

4．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．
（1）求證：BC=CD；
（2）求證：∠ADE=∠ABD；
（3）設AD=2，AE=1，求⊙O直徑與tan∠ADE．

Answer 1

分析 （1）由相切的性質得：OD⊥AC，同圓的半徑相等和等邊對等角得：∠ODB=∠OBD，最后利用等角的余角相等得：∠DBC=∠BDC，由等角對等邊得出BC=CD；
（2）由直徑所對的圓周角是直角得：∠EDB=90°，利用同角的余角相等得結論；
（3）設⊙O的半徑為r，利用勾股定理列方程可求出r的值，證明△AED∽△ADB，得$\frac{ED}{BD}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，利用同角的三角函數可得結論．

解答 證明：（1）連接OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBD=90°，
∵AC與⊙O相切，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD；
（2）∵EB是⊙O的直徑，
∴∠EDB=90°，
∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵∠ADO=90°，
∴∠ADE+∠ODE=90°，
∴∠ADE=∠ODB，
∵∠ODB=∠ABD，
∴∠ADE=∠ABD；
（3）設⊙O的半徑為r，則OE=OD=r，AO=1+r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
∴2²+r²=（1+r）²，
r=$\frac{3}{2}$，
∴2r=3，AB=1+3=4，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{ED}{BD}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADE=tan∠ABD=$\frac{ED}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
則⊙O直徑是3，tan∠ADE的值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質、圓周角定理、三角函數、相似三角形的性質和判定、勾股定理以及等腰三角形的性質和判定，難度適中，屬于常考題型，在計算圓的直徑時，可設半徑為r，根據勾股定理列方程解決問題．