Question

【題目】某工廠投入生產(chǎn)一種機(jī)器的總成本為2000萬(wàn)元．當(dāng)該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)時(shí)，每臺(tái)成本y與生產(chǎn)數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）求該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量；

（3）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種機(jī)器每月銷(xiāo)售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．該廠生產(chǎn)這種機(jī)器后第一個(gè)月按同一售價(jià)共賣(mài)出這種機(jī)器40臺(tái)，請(qǐng)你求出該廠第一個(gè)月銷(xiāo)售這種機(jī)器的利潤(rùn)．（注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本）

Answer 1

【答案】（1） y=-x+65．10≤x≤70；（2） 50臺(tái)；（3） 312.5萬(wàn)元.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出其關(guān)系式，由該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)就可以確定自變量的取值范圍；

（2）根據(jù)每臺(tái)的成本乘以生產(chǎn)數(shù)量等于總成本建立方程求出其解即可；

（3）設(shè)每月銷(xiāo)售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，運(yùn)用待定系數(shù)法求出其解析式，再將z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每臺(tái)的利潤(rùn)，從而求出總利潤(rùn)．

試題解析：（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴y=-x+65．

∵該機(jī)器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)，

∴10≤x≤70；

（2）由題意，得

xy=2000，

-x2+65x=2000，

-x2+130x-4000=0，

解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．

答：該機(jī)器的生產(chǎn)數(shù)量為50臺(tái)；

（3）設(shè)每月銷(xiāo)售量z（臺(tái)）與售價(jià)a（萬(wàn)元∕臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，由函數(shù)圖象，得

，

解得：，

∴z=-a+90．

當(dāng)z=25時(shí)，a=65，

成本y=-z+65=-×25+65=（萬(wàn)元）；

總利潤(rùn)為：25（65-）==312.5（萬(wàn)元）．

答：該廠第一個(gè)月銷(xiāo)售這種機(jī)器的利潤(rùn)為312.5萬(wàn)元．