Question

如圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求△BCM的面積．
（3）在圖中的拋物線上是否還存在點(diǎn)P，使得S_△PMB=S_△BCM？如果不存在，說明理由；如存在，請直接寫出P點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）所給二次函數(shù)解析式是頂點(diǎn)式，而頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-4），易求m、k的值，再把所求m、k的值代入二次函數(shù)中，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，可求x=3或x=-1，進(jìn)而可得A、B的坐標(biāo)；
（2）令二次函數(shù)中的x=0，易求y=-3，從而可得C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），由于B、C、M三點(diǎn)坐標(biāo)都是已知的，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，易求BC=，BM=，CM=，而BC²+CM2=BM²，根據(jù)勾股定理逆定理可知△BCM是直角三角形，進(jìn)而可求其面積；
（3）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，那么過點(diǎn)C作BM的平行線，觀察可知與拋物線有2個交點(diǎn)，故P點(diǎn)的個數(shù)是2．
解答：解：（1）根據(jù)題意，可得-m=1，k=-4，
解得m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函數(shù)解析式，得
y=（x-1）²-4，
令y=0，得（x-1）²-4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；

（2）令x=0，得y=-3，
∴拋物線和y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），M（1，-4），
∴BC=，BM=，CM=，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
∴S_△BCM=××=3；

（3）過點(diǎn)C作BM的平行線，可觀察與拋物線有兩個交點(diǎn)，
故點(diǎn)P的個數(shù)是2．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是注意掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的表示方法，以及求任意三角形面積時，要先考慮是否是直角三角形，同底等高的三角形面積相等．