Question

（本題12分）如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求弦BD的長；

（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）見解析；（2）BD=6；（3）6π．

【解析】

試題分析：（1）連接OC交BD于點E，根據∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根據AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根據OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的長度，然后計算出BD的長度；（3）根據△OBE和△CDE全等，將陰影部分的面積轉化成扇形OBC的面積，然后根據扇形的面積計算公式進行求解．

試題解析：（1）證明：連接OC，交BD于點E． ∵∠CDB=∠OBD=30° ∴∠COB=60°,∠OEB=90°

∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90° ∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切線．

（2）∵∠OEB=90°,∠OBD=30° ∴OC⊥BD，

∴BE=DE= ∴

（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°,BE=DE， ∴△OEB≌△CED

∴

考點：切線的判定、垂徑定理、扇形的面積計算．