Question

已知一個(gè)面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點(diǎn)為頂點(diǎn)向外作小等邊三角形（如圖示）。當(dāng)n=8時(shí)，共向外做出了      18個(gè)小等邊三角形； 當(dāng)n=k時(shí)，共向外做出了        3（k-2）個(gè)小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和是         3(k-2)k2S（用含k的式子表示）。

Answer 1

18    3(k－2)   S

根據(jù)前三個(gè)圖形小等邊三角形的個(gè)數(shù)，推出n=8時(shí)共向外作出了18個(gè)等邊三角形，歸納總結(jié)出第k個(gè)圖形即n=k時(shí)，共向外作出的小等邊三角形的個(gè)數(shù)，然后利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求出一個(gè)小等邊三角形的面積，根據(jù)歸納出的個(gè)數(shù)即可求出所有小等邊三角形的面積之和．
解：由第1個(gè)圖形可知：n=3時(shí)，共向外作出了3（3-2）個(gè)三角形；
由第2個(gè)圖形可知：n=4時(shí)，共向外作出了3（4-2）個(gè)三角形；
…
所以當(dāng)n=8時(shí)，共向外作出了3（8-2）=18個(gè)三角形；
當(dāng)n=k時(shí)，共向外作出了3（k-2）個(gè)三角形；
又第k個(gè)圖形中的每一個(gè)小三角形都與最大的等邊三角形相似，相似比為1：k，
所以面積比為1：k²，且最大的等邊三角形的面積為S，
則一個(gè)小等邊三角形的面積為S，
所以這些小等邊三角形的面積和是S．
故答案為：18；3（k-2）；S．