Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一邊GF在BC上，其余兩個頂點D，E分別在AB，AC上.連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．
(1)求證：.
(2)求證：．
(3)若AB=AC=2，求MN的長.
    

Answer 1

（1）證明：∵四邊形DGFE是正方形，∴DN∥BF，
∴△ADM∽△ABG， 
∴,同理可得．
∴．
（2）證明：
由（1）可知，同理也可以得到,
∴,.
∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=Rt∠，
∴△BGD∽△EFC． ∴.
∵DG,GF,EF是同一個正方形的邊長，∴DG="GF=EF." ∴
∴, ∴MN ²＝DM·EN 
（3）MN=

 （1）通過三角形相似，證明線段之比相等；
（2） ∵   ∴ 
∵∠B=∠C＝45^o , 四邊形DEFG是正方形，
∴
∵ 由（1）(2)可得 
∴