Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．
（1）拋物線的解析式為y=x²-3x；
（2）若點D、N均在此拋物線上，其中點D坐標為（2，-2），點N滿足∠NBO=∠ABO，P為平面上一點，則所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標有（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$），（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可；
（2）根據解方程組，可得N點坐標，求出直線A′B的解析式，進而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進而求出點P₁的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過點A（3，0）、B（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．
故答案為y=x²-3x；

（2）易求直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點A關于直線OB的對稱點A'的坐標是（0，3）．
設直線A'B的解析式為y=kx+3，過點B（4，4），
∴4k+3=4，解得：k=$\frac{1}{4}$．
∴直線A'B的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3．
∵∠NBO=∠ABO，
∴點N在直線A'B上，
∴設點N（n，$\frac{1}{4}$n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，
解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（與B重合，不合題意，會去），
∴點N的坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）．
將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上
如圖，過D點做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點．
∴$\frac{O{P}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴點P₁的坐標為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y軸距離，點到y軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標為（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．
綜上所述，點P的坐標是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$），（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．
故答案為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$），（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

點評 本題考查了待定系數法求拋物線解析式、翻折變換以及相似三角形等重要知識點．本題將初中階段重點代數、幾何知識熔于一爐，難度很大，對學生能力要求極高，具有良好的區分度，是一道非常好的中考壓軸題．