Question

10．【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．
（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．
（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）已知：△ABC，∠B是銳角，用尺規和圓規作△DEF，使AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E，且∠B、∠E都是銳角，∠B與∠A還要滿足∠B≥∠A，就可以使△ABC≌△DEF？

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形全等的方法“HL”證明；
（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；
（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；
（4）根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可．

解答 解：（1）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF，
故答案為：斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等．

（2）如圖，

過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABC=∠DEF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）如圖，△DEF和△ABC不全等；

以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等．

（4）若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF，
故答案為：∠B≥∠A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．