Question

6．如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）如果AB=12，BC=15，求tan∠FBE的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易證得△ABE∽△DFE；
（2）由勾股定理求得AF=9，得出DF=6，由△ABF∽△DFE，求得EF=7.5，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形．
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵△BCE沿BE 折疊為△BFE．
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∠AFB十∠ABF=90°，
∴∠ASF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE．
（2）解：由折疊的性質(zhì)得：BF=BC=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴DF=AD-AF=6，
∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{AB}{DF}$，
即$\frac{15}{EF}=\frac{12}{6}$，
解得：EF=7.5，
∴tan∠FBE=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．