Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于、B兩點，與y軸交于點，拋物線的對稱軸交x軸于點D．

求拋物線的解析式；

求的值；

在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時線段EF最長？求出此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點P的坐標為或，，理由見解析；（4）當點E坐標為時，線段EF最長

【解析】分析：（1）把點，代入到，用待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據勾股定理，可得BC的長，根據正弦函數的定義，可得答案；

（3）根據等腰三角形的定義，分PD=CD和PC=CD兩種情況可得P點坐標；

（4）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

詳解：拋物線過點，，

　　　　　

解析式為，

當時，解得舍，，

點B的坐標為，，

．

存在．

對稱軸是，

點D的坐標為，

．

，得或，

，即P點與D點關于底邊的高對稱，得

D點的縱坐標為4，即，

綜上所述：點P的坐標為或，；

設直線BC的解析式為

、C兩點坐標分別為、，

解得，

直線BC的解析式為．

設E點坐標為，則F點坐標為，

，

當時，EF最長，

當點E坐標為時，線段EF最長．