Question

5．閱讀下列解題過程：$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{4}）^{2}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$=$\sqrt{5}$-2；
$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$=$\frac{2×（\sqrt{6}+\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}-\sqrt{5}）（\sqrt{6}+\sqrt{5}）}$=$\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{5}$；
請解答下列問題：
（1）觀察上面解題過程，計算$\frac{3}{\sqrt{10}-\sqrt{7}}$；
（2）請直接寫出$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$的結果．（n≥1）
（3）利用上面的解法，請化簡：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$．

Answer 1

分析 （1）觀察上面解題過程，得出原式的結果即可；
（2）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；
（3）原式利用各種分母有理化，計算即可得到結果．

解答 解：（1）原式=$\frac{3（\sqrt{10}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{10}-\sqrt{7}）（\sqrt{10}+\sqrt{7}）}$=$\sqrt{10}$+$\sqrt{7}$；
（2）歸納總結得：$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n≥1）；
（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$=10-1=9．

點評 此題考查了分母有理化，弄清題中分母有理化法則是解本題的關鍵．