Question

半徑分別為r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相離，并且一條外公切線長度為t₁，一條內公切線的長度為t₂，則t₁²-t₂²=

 

r₁r₂；如果一條外公切線與連心線所夾銳角為α，則sinα=

 

；如果一條內公切線與連心線所夾銳角為β，則sinβ=

 

．

Answer 1

分析：連接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D作O₂E⊥O₁A于E，延長O₁E到F使CF=O₂D=r₂，連接O₂F，根據直角三角形中三邊長度即可求得銳角的三角函數值，即可解題．

解答：解：如圖，連接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D，
作O₂E⊥O₁A于E，延長O₁E到F使CF=O₂D=r₂，連接O₂F，
則∠EO₂O₁=α，∠FO₂O₁=β
∴sinα=

|r1-r2|

o1o2

，sinβ=

r1+r2

o1o2

，
在Rt△EO₁O₂中，t₁²=O₁O₂²-（r₁-r₂）²①
在Rt△O₁FO₂中，t₂²=O₁O₂²-（r₁+r₂）²②
①-②得t₁²-t₂²=4r₁r₂，
故答案為4、

|r1-r2|

o1o2

、

r1+r2

o1o2

．

點評：本題考查了三角函數值的求值，考查了直角三角形中三角函數值的應用，考查了勾股定理在直角三角形中的運用．