Question

3．如圖，點A，B在⊙O上，點C在⊙O外，連接AB和OC交于D，且OB⊥OC，AC=CD．        
（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OC=13，OD=1，求⊙O的半徑及tanB．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線．
（2）由勾股定理求出OA，得出OB，由三角函數的定義求出tanB即可．

解答 （1）證明：連接OA，如圖所示：
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵OC=13，OD=1，
∴AC=CD=OC-OD=12，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
即⊙O的半徑為5，
∵OB=OA=5，
∴tanB=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{5}$．

點評 此題考查了切線的判定、勾股定理、等腰三角形的性質、三角函數值的求法．此題難度適中，由勾股定理求出半徑是解決問題（2）的關鍵．