Question

3．如圖1，已知數軸上有三點A，B，C，點B是線段AC的中點．

若點A對應的數是3，點C對應的數是9，則點B對應的數是6；
若點A對應的數是-11，點C對應的數是-5，則點B對應的數是-8；
若點A對應的數是-2，點C對應的數是8，則點B對應的數是3；
（2）在（1）的條件下，若點A對應的數是x，點C對應的數是y，請你猜想：線段AC的中點B對應的數是$\frac{x+y}{2}$（用含x，y的代數式表示）．
（3）如圖2，在數軸上，若點D，B，C對應的數分別是-400，0，100，點A是線段DB的中點，動點、Q分別從D、B兩點同時出發沿數軸向左運動，點P、Q的速度分別為10單位長度/秒、5單位長度/秒，點M為線段PQ的中點，在上述運動過程中，$\frac{3}{2}$QC-AM的值是否發生變化？若不變，求其值；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出AC，根據中點的性質得到BC=AB，然后求出點B到原點的距離，即可得到點B表示的數．
（2）根據（1）得出規律即可；
（3）假設經過的時間為y秒，得出PD=10y秒，QB=5y秒，進而得出$\frac{400+5y}{2}$+5y-200=$\frac{15}{2}$y，得出$\frac{3}{2}$QC-AM=$\frac{3（100+5y）}{2}$-$\frac{15}{2}$y=150為定值，原題得證．

解答 解：（1）∵數軸上點A對應的數是3，點C對應的數是9，
∴AC=9-3=6，
而點B是線段AC的中點，
∴BC=AB=3，
∴點B表示的數是6．
若點A對應的數是-11，點C對應的數是-5，則AC=6，
∵點B是線段AC的中點，
∴BC=AB=3，
∴點B表示的數是-8．
若點A對應的數是-2，點C對應的數是8，則AC=10，
∵點B是線段AC的中點，
∴BC=AB=5，
∴點B表示的數是3．
故答案為6，-8，3．
（2）由（1）規律可知：若點A對應的數是x，點C對應的數是y，猜想：線段AC的中點B對應的數是$\frac{x+y}{2}$，
故答案為$\frac{x+y}{2}$．
（4）設經過的時間為y，
則PD=10y，QB=5y，
于是PQ點為[0-（-400）]+10y-5y=400+5y，
一半則是$\frac{400+5y}{2}$，
所以AM點為：$\frac{400+5y}{2}$+5y-200=$\frac{15}{2}$y，
又QC=100+5y，
所以$\frac{3}{2}$QC-AM=$\frac{3（100+5y）}{2}$-$\frac{15}{2}$y=150為定值．

點評 此題考查了實數與數軸，也考查了一元一次方程的應用，根據已知得出各線段之間的關系等量關系是解題關鍵，此題閱讀量較大應細心分析．