Question

15．如圖，已知一次函數${y_1}=\frac{2}{3}x+b$與反比例函數${y_2}=\frac{k}{x}$的圖象交于A（3，4）、B（-6，n）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出使一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）把點A坐標代入反比例函數求出k的值，也就求出了反比例函數解析式；
（2）根據圖象和交點坐標即可求得；
（3）把點A的坐標代入${y_1}=\frac{2}{3}x+b$，求得一次函數解析式，求出直線與y軸的交點坐標，從而y軸把△AOB分成兩個三角形，結合點A、B的橫坐標分別求出兩個三角形的面積，相加即可．

解答 解：（1）點A（3，4）在反比例函數${y_2}=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=3×4=12，
∴反比例函數的表達式為y₂=$\frac{12}{x}$，
（2）一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍是x＜-6或0＜x＜3；
（3）把點A（3，4）代入一次函數${y_1}=\frac{2}{3}x+b$中，
得4=$\frac{2}{3}$×3+b，
解得b=2，
∴一次函數的表達式為y₁=$\frac{2}{3}$x+2；
當x=0時，得y=2，
∴直線y₁=$\frac{2}{3}$x+2與y軸的交點為C（0，2），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×2×3=9．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數圖象的交點問題，同時考查用待定系數法求函數解析式．本題需要注意無論是自變量的取值范圍還是函數值的取值范圍，都應該從交點入手思考；需注意反比例函數的自變量不能取0．